1.8 전자와 정공의 농도(Concentration of Carriers)

1.8.1  전자와 정공의 농도 

 

 > 전자의 농도를 구하려면 전자가 있을 확률 (Fermi-Dirac 확률 분포)에 전자가 있을 모든 경우의 수 (Density Of State)를 곱에 에너지 범위만큼 적분하면 된다. 

 

 > 정공은 1 - 전자가 있을 확률에서 전자와 똑같이 Density Of State 곱하고 에너지 대역 만큼 적분하면 된다. 

 

> 전자는 Ec~무한대 까지 적분, 정공은 가전자 대역 바닥~Ev까지의 적분하면 된다. 

 

 

> 적분해서 구하면 Nc * exp, Nv * exp 값으로 얻어지는데 Nc, Nv를 유효 상태 밀도 (Effective Density of States) 한다.

 

 

 

> 유효 상태 밀도의 의미는 E=Ec 일 때의 전자의 농도, E=Ev 일 때의 정공의 농도를 뜻 한다. 

 

> Si의 Nc, Nv는 10^19 cm^-3 정도이고 유효 질량에 따라 다르다. (Table1)

 

	Ge	Si	GaAs
Nc [〖cm〗^(-3)]	1.04 × 10^19	2.8 × 10^19	4.7 × 10^17
Nv [〖cm〗^(-3)]	6.0 × 10^18	1.04 × 10^19	7.0 × 10^18

Table1. Effective Density Of States 

 

1.8.2  페르미 준위와 캐리어 농도

 > 전자의 농도가 높아질수록 Ef는 Ec에 가까워진다. 

 

 > 정공의 농도가 높아질수록 Ef는 Ev에 가까워진다. 

 

> 온도가 높아질수록 Ef(Fermi Level)은 진성(Intrinsic) Si의 Ef에 가까워진다. (그림 1)

 

> 열적 평형 상태일 때 전자와 정공의 농도의 곱을 일정하다. np = ni^2 (mass action law).

 

> 주의할 점은 해당 관계는 E-Ef >> kT 조건에서만 성립된다, (Boltzmann Approximation) 

 

> 그럼 불순물이 주입이 안되어 있는 Si이라면 생성되는 전자와 정공의 수는 동일하다.

 

> Valence Band에서 Conduction Band로 올라가는 전자는 정공을 발생시키기 때문이다.

 

> Doping이 되지 않은 Si을 진성 (Intrinsic) Si이라고 하고 n = p = ni(진성 케리어 농도)가 성립한다.

 

> Si의 ni는 10^10 개 정도이고 외워두면 좋다. 

 

> N type 반도체에서 전자를 Majority Carrier, 정공을 Minority Carrier라 한다. 

 

> P type은 N type의 반대이다. 

 

그림 1. 300k, 400k Si Fermi Level vs.Dopant Concentration

 1.8.1 Concentration of Electrons and Holes

 > To determine the concentration of electrons, you can multiply the probability of having an electron (Fermi-Dirac probability distribution) by the total number of cases where electrons exist (Density of States), and then integrate over the energy range.

 

  > For holes, subtract the probability of having an electron from 1, and then multiply it by the Density of States, integrating over the energy band.

 

 > For electrons, integrate from Ec to infinity, and for holes, integrate from the valence band edge to Ev.

 

 > The result of the integration gives you values in terms of Nc * exp and Nv * exp, where Nc and Nv are the Effective Density of States.

 

 > The Effective Density of States signifies the concentration of electrons at E=Ec and the concentration of holes at E=Ev.

 

 > The values for Nc and Nv in silicon (Si) are around 10^19 cm^-3, and they vary based on the effective mass. (See Table 1)

  　

	Ge	Si	GaAs
Nc [〖cm〗^(-3)]	1.04 × 10^19	2.8 × 10^19	4.7 × 10^17
Nv [〖cm〗^(-3)]	6.0 × 10^18	1.04 × 10^19	7.0 × 10^18

Table1. Effective Density Of States 

 

 1.8.2 Fermi Level and Concentration of Carriers

 > As the concentration of electrons increases, Ef moves closer to Ec.

 

 > As the concentration of holes increases, Ef moves closer to Ev.

 

 > At higher temperatures, Ef (Fermi Level) approaches the Ef of intrinsic silicon (Figure 1).

 

 > In thermal equilibrium, the product of electron and hole concentrations remains constant: np = ni^2 (mass action law).

 

 > Note that this relationship holds true only when E-Ef >> kT, known as the Boltzmann Approximation.

 

 > If we consider undoped silicon (Si) without injected impurities, the number of generated electrons and holes will be equal.

 

 > Electrons transitioning from the valence band to the conduction band create holes.

 

 > Undoped Si is referred to as intrinsic Si, and n = p = ni (intrinsic carrier concentration) holds.

 

 > The intrinsic carrier concentration of Si is approximately 10^10, and it's useful to remember.

 

 > In N-type semiconductors, electrons are the majority carriers, and holes are the minority carriers.

 

 > For P-type, it's the opposite of N-type.

 

Figure 1. 300k, 400k Si Fermi Level vs.Dopant Concentration

 

Reference 

-. Chenming Calvin Hu, Modern Semiconductor Devices for Integrated Circuits, PEARSON(2013)